AKU SENANG MENJADI SISWA SMAN 63

Soal Nomor 1

Himpunan penyelesaian dari 3log(x2+x+15)=3 adalah ⋯⋅
A. {−4,−3}                     D. {−3,4}
B. {−4,3}                        E. {3,4}
C. {−3,3}

PEMBAHASAN: Diketahui 3log(x2+x+15)=3.

Dengan mengubah bentuk logaritma di atas menjadi bentuk pangkat, kita akan memperoleh
x2+x+15=33x2+x+15=27x2+x−12=0(x+4)(x−3)=0x=−4 atau x=3Jadi, himpunan penyelesaian persamaan logaritma tersebut adalah {−4,3}
(Jawaban B)

Soal Nomor 2
Jumlah akar-akar dari persamaan $\log (x^2-1)=\log 8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-6$                    C. $0$                     E. $6$

B. $-3$                    D. $3$

 PEMBAHASAN: Perhatikan bahwa

$$\begin{array}{cc}\log (x^2-1)& =\log 8\\ x^2-1& =8\\ x^2-9& =0\\ (x+3)(x-3)& =0\\ x_1=-3\text{atau}{x}_2& =3\end{array}$$Jadi, jumlah akar-akar dari persamaan logaritma tersebut adalah $x_1+x_2=(-3)+3=0$
(Jawaban C)

Soal Nomor 3
Penyelesaian dari persamaan ${}^x\log (4x+12)=2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=-6$                 D. $x=6$
B. $x=-2$                 E. $x=-2$ atau $x=6$

PEMBAHASAN :Diketahui ${}^x\log (4x+12)=2$.
Dengan mengubah bentuk logaritma di atas menjadi bentuk pangkat, kita akan memperoleh
$$\begin{array}{cc}{x}^2& =4x+12\\ x^2-4x-12& =0\\ (x-6)(x+2)& =0\\ x=6\text{atau}x& =-2\end{array}$$Cek syarat bahwa numerus harus positif dan tidak sama dengan $1$. Perhatikan bahwa substitusi $x=-2$ membuat numerus bertanda negatif, sehingga penyelesaian ini ditolak.
Jadi, penyelesaian persamaan logaritma tersebut adalah $x=6$
(Jawaban D)

Soal Nomor 4
Nilai x yang memenuhi persamaan log√2logx+8=1 adalah ⋯⋅
A. 282                 C. 290                  E. 492

B. 284                 D. 292

 

PEMBAHASAN : Ingat bahwa prinsip logaritma adalah: ac=b⟺alogb=c.

Untuk itu, diperoleh
log√2logx+8=1log√2logx+8=log10√2logx+8=102logx+8=100(Kuadratkan kedua ruas)2logx=92x=292Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah x=292
(Jawaban D)

Soal Nomor 5
Nilai $x$ yang memenuhi ${}^x\log {\left(\frac{2}{9}\right)}^3=-2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\frac{27}{2}$                      D. $\frac{27}{4}\sqrt{2}$
B. $\frac{27}{4}$                      E. $\frac{27}{8}\sqrt{2}$

PEMBAHASAN :Berdasarkan hubungan pangkat dan logaritma beserta sifat-sifat eksponen, kita dapatkan
$\begin{array}{cc}{x}^{-2}& ={\left(\frac{2}{9}\right)}^3\\ (x^{-2}{)}^{-\frac{1}{2}}& ={\left({\left(\frac{2}{9}\right)}^3\right)}^{-\frac{1}{2}}\\ x& ={\left(\frac{9}{2}\right)}^{\frac{3}{2}}=\frac{27}{2\sqrt{2}}=\frac{27}{4}\sqrt{2}\end{array}$
Jadi, nilai dari $x=\frac{27}{4}\sqrt{2}$
(Jawaban D)

Soal Nomor 6
Jika $a$ memenuhi persamaan ${}^2\log 2x+{}^3\log 3x={}^4\log 4x^2$, maka ${}^a\log 3=\cdots \cdot$
A. $-3$                    C. $-1$                   E. $2$
B. $-2$                    D. $1$

 

PEMBAHASAN:Diketahui ${}^2\log 2x+{}^3\log 3x={}^4\log 4x^2.$
Persamaan di atas dapat kita tuliskan menjadi
$$\begin{array}{cc}{}^2\log 2x+{(}^3\log 3+{}^3\log x)& ={}^4\log (2x{)}^2\\ {}^2\log 2x+(1+{}^3\log x)& ={}^2\log 2x\\ 1+{}^3\log x& =0\\ {}^3\log x& =-1\\ x& =3^{-1}\end{array}$$Jadi, nilai $a=3^{-1}$, sehingga ${}^a\log 3={}^{3^{-1}}\log 3=-1$
(Jawaban C)

Soal Nomor 7
Jika ${}^4\log {}^4\log x{-}^4\log {}^4\log {}^4\log 16=2$, maka $x=\cdots \cdot$
A. $4^2$                  C. $4^8$                 E. $4^{32}$
B. $4^4$                  D. $4^{16}$

PEMBAHASAN:Perhatikan bahwa

$$\begin{array}{cc}{}^4\log {}^4\log x-{}^4\log {}^4\log {}^4\log 16& =2\\ {}^4\log {}^4\log x-{}^4\log {}^4\log 2& =2\\ {}^4\log {}^4\log x-{}^4\log \frac{1}{2}& =2\\ {}^4\log {}^4\log x-{}^{2^2}\log 2^{-1}& =2\\ {}^4\log {}^4\log x+\frac{1}{2}& =2\\ {}^4\log {}^4\log x& =\frac{3}{2}\\ {}^4\log x& =4^{\frac{3}{2}}=(2^2{)}^{\frac{3}{2}}=8\\ x=4^8& \end{array}$$Jadi, nilai dari $x$ adalah $x=4^8$
(Jawaban C)

Soal Nomor 8
Salah satu nilai $p$ yang memenuhi$$4\cdot {}^p\log 2{-}^2\log p^2=-7$$adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                      C. $8$                       E. $32$
B. $4$                      D. $16$

PEMBAHASAN:Pada bentuk logaritma, posisi basis dan numerus dapat dibalik dengan menggunakan sifat
$${}^a\log b={}^b\log a$$Oleh karena itu, persamaan di atas dapat ditulis menjadi
$$4\cdot \frac{1}{{}^2\log p}-2\cdot {}^2\log p=-7$$Sekarang, misalkan ${}^2\log p=x$, sehingga kita peroleh
$$\begin{array}{cc}\frac{4}{x}-2x& =-7\\ \text{Kalikan kedua ruas}& \text{dengan}x\\ 4-2x^2& =-7x\\ 2x^2-7x-4& =0\\ (2x+1)(x-4)& =0\\ x=-\frac{1}{2}\text{atau}& x=4\end{array}$$Substitusi balik dan kita peroleh
$$\begin{array}{cc}{}^2\log p=-\frac{1}{2}& \Rightarrow p=2^{-1/2}\\ {}^2\log p=4& \Rightarrow p=2^4=16\end{array}$$Jadi, salah satu nilai $p$ yang memenuhi persamaan adalah $p=16$
(Jawaban D)

Soal Nomor 9
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\frac{x^{\log 15x}}{27x^{\log 5x}}=9$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1.000$                     D. $\mathrm{1.000.000}$
B. $10.000$                   E. $\mathrm{10.000.000}$
C. $100.000$                      

PEMBAHASAN: dengan menggunakan sifat pangkat dan logaritma, diperoleh
$\begin{array}{cc}\frac{x^{\log 15x}}{27x^{\log 5x}}& =9\\ \frac{1}{27}\times \frac{x^{\log 15x}}{x^{\log 5x}}& =9\\ x^{\log 15x-\log 5x}& =9\times 27\\ x^{\log \frac{15x}{5x}}& =3^2\times 3^3\\ x^{\log 3}& =3^5\end{array}$
Berdasarkan hubungan pangkat dan logaritma, bentuk terakhir dapat ditulis $\begin{array}{cc}{}^x\log 3^5& =\log 3\\ {}^x\log 3^5& {=}^{{10}^5}\log 3^5\\ x& ={10}^5=100.000\end{array}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $x=100.000$
(Jawaban C)

Soal Nomor 10
Hasil kali semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\frac{x^2}{10.000}=\frac{10.000}{x^{2{(}^{10}\log x)-8}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $100$                      D. $100.000$
B. $1.000$                   E. $\mathrm{1.000.000}$
C. $10.000$

PEMBAHASAN:Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen dan logaritma, kita peroleh

$$\begin{array}{cccc}\frac{x^2}{10.000}& =\frac{10.000}{x^{2{(}^{10}\log x)-8}}& & \\ x^{2+2\log x-8}& =10.000\cdot 10.000& & \\ x^{2\log x-6}& ={10}^8& & \\ (x^{\log x-3}{)}^2& =({10}^4{)}^2& & \\ x^{\log x-3}& ={10}^4& & \\ \text{Tarik logarit}\text{ma di}& \text{kedua ruas}& & \\ \log x^{\log x-3}& =\log {10}^4& & \\ (\log x-3)\left(\log x\right)& =4& & \\ {\log }^{2}x-3\log x-4& =0& & \\ (\log x-4)(\log x+1)& =0& & \left(\text{Difaktorkan}\right)\\ \log x=4\text{atau}& \log x=-1& & \end{array}$$Dengan demikian, didapat
$$\begin{array}{cc}\log x=4& \Rightarrow x_1={10}^4\\ \log x=-1& \Rightarrow x_2={10}^{-1}\end{array}$$Jadi, hasil kali semua nilai $x$ dari persamaan logaritma tersebut adalah$$x_1{x}_2={10}^4\cdot {10}^{-1}={10}^3=1.000$$(Jawaban B)